f, g를 힐베르트 공간의 벡터, A를 선형연산자라 할 때 내적(內積)이 (f, Ag)=(A*f, g)를 만족시키는 연산자 A가 존재하고 A=A일 때 A를 에르미트 연산자라고 한다.

0이 아닌 벡터 에 대해 A=를 만족시킬 때 를 A의 고유벡터, 를 고유값이라 한다.

여기서 는 항상 실수이다.

A에 속하는(일반적으로 무한개의) 고유벡터와 고유값을

라 할 때, 임의의 f에 대해

가 만족될 때 A의 스펙트럼 분해라고 한다.

양자역학에서 f, g가 양자상태를 나타내는 벡터라고 하면 임의의 관측 가능한 물리량은 에르미트 연산자로 표시할 수 있다.

고유상태에서의 관측값은 연산자의 고유값과 같다.