프랑스의 수학자 · 물리학자. 미분방정식에 의해 정의되는 곡선족(曲線族)과 함께, 일차변환군(一次變換群)에 대해 불변인 일가해석함수(一價解析函數), 즉 보형(保型)함수의 존재에 관해 연구, 비(非)유클리드기하학의 푸앵카레의 모델을 발견했다.

1892~99년 《천체역학의 새로운 방법(Les methodes nouvelles de la mechanique celeste)》(전3권)에 이어 《천체역학 강의(Lecons de mechanique celeste)》(전3권 ; 1905~10)를 간행했으며, 미분방정식의 해(解)의 점근급수(漸近級數) 전개, 무한차(無限次)행력식의 수렴(收斂)문제, 미분방정식의 정성적(定性的) 성질에 관한 그의 연구는 오늘날 역학계(力學系) 이론의 기초를 제공했다.

두 변수의 대수함수 연구, 유리곡선(有理曲線) 연구, 다양체(多樣體) 개념의 연구를 통해 오늘날의 대수적 위상기하학의 기본개념을 도입하여, 3차원의 닫힌 다양체가 한 점에 응축할 때 이 다양체는 구(球)가 된다는 푸앵카레 예상(豫想)도 발표했다.

이 예상은 5차원 이상인 때는 풀렸지만, 3차원인 경우는 미해결로 남아 있다.

푸앵카레는 뛰어난 과학평론가이기도 했다.

《과학과 가설》(1902) 《과학의 가치》(1905) 《과학과 방법》(1908)과 《만년의 사상》 《과학자와 시인》 등에서 그의 사상을 찾아볼 수 있다.