명제「A이면 B이다」에 대해 A와 B를 바꾸어 놓은 「B이면 A이다」를 원래의 명제의 역이라고 한다.

논리학의 용어지만 수학에서 많이 사용된다.

가령 「실수(實數) x에 대해 x >2이 면 >4이다」라는 명제를 생각하면「실수 x에 대해」는 전제조건이라고 생각하여 이 명제의 역은「실수 x에 대해 >4이면 x>2이다」가 된다.

원래의 명제가 참이라 할지라도 그 역이 반드시 참이라고 할 수는 없다(>4이면 x〉2 또는 x<-2가 참인 명제).

또 원래의 명제 및 역의 A, B를 A, B의 부정(否定)으로 바꾸어 놓은「A가 아니면 B가 아니다」및「B가 아니면 A가 아니다」(위의 예에서라면 「실수 x에 대하여 x2이면 4」및「실수 x에 대하여 4이면 x2이다」)를 각기 원래의 명제의 이(裏) 및 대우(對偶)라 한다.

원래의 명제가 참이면 대우도 참이고 대우의 대우는 원래의 명제이므로 어떤 명제와 그 대우와는 동치(同値)이다.

따라서 어떤 명제를 증명할 때 그 명제의 대우를 증명해도 된다.

이는 역의 대우이므로 역이 참이 아니면 이도 참이 아니다.

위의 예에서는 명제의 부정을 만들기가 쉬웠으나, 일반적으로 부정을 만들 때는 틀리기 쉬우므로 주의해야 한다.

가령 하나의 명제 「모든 x에 대해 f(x)=0이고 어떤 y에 대하여 g(y)=0이다」의 부정은 「어떤 x에 대해 f(x)0이거나 모든 y에 대해 g(y)0이다」가 되어「모든」과 「어떤」을 서로 바꾸어 만든다.

수학적 명제 뿐만 아니라 가령 A와 B에는 원인과 결과라는 관계가 있어서 시간적인 차이가 있을 때 단순히 형식적으로 대우를 만들어서는 참인 대우가 되지 않는다.

이를테면「식사를 하지 않으면 배가 고프다」와 형식적인 대우「배가 고프지 않으면 식사를 한다」는 큰 차이가 있다.