넓은 의미에서 에너지 ×시간 또는 운동량×좌표(길이)의 차원을 갖는 물리량. 이 때 물리량은 작용의 차원을 가진다고 한다.

고전역학 및 해석역학에서 작용량은 중요한 의미를 갖는 기본량이다.

자유도(自由度) 1인 역학계의 궤도가 일반화 좌표 q와 그에 대한 정준(正準)운동량 p의 직교좌표공간(상(相)공간이라 하며, 이 경우 평면, 즉 상평면)에서 하나의 폐곡선을 그릴 때, 이 폐곡선(폐궤도) 내부의 넓이는 하나의 전형적인 작용량이라 할 수 있다.

이 예는 역학계가 외부와 열에너지의 주고받음 없이 천천히 변화를 받아들이는 경우, 궤도가 변형되어도 폐궤도 내부의 넓이는 바뀌지 않는다는 단열불변성의 이유에서 중요하다.

실제로 이 단열불변량으로서의 내부 넓이가 어떤 보편상수 h(플랑크 상수)의 정수배여야만 한다는 명제에 의해 이 역학계의 양자(量子)조건이 제시되었다.

이것은 상수 h가 작용양자라고 불리는 이유이기도 하다.

여기서 정수배는 일반적으로

이며, Q는 마슬로프의 지수라 부른다.

위의 폐궤도의 넓이를 폐궤도를 따라 한 적분 pdq로 나타내고, 이를 이 역학계를 기술하는 작용변수라 부르는데, 보통 J라는 기호로 표시한다.

J는 에너지 적분 E의 함수로서 구해지므로, 위의 양자조건으로부터 계의 에너지 준위가

를 만족시키는 것으로서 근사적으로 구해진다.

이 사실은 슈뢰딩거 방정식에 의한 엄밀한 양자조건이 확립되기 이전부터 알려진 것으로, P.에렌페스트는 이 기초에 작용변수의 단열불변성이 있다는 점을 강조했다.

위의 예에서 부정적분, 즉 운동방정식의 해인 궤도를 따라 한 적분형

와, 좀 더 일반적으로 해밀턴함수 H에 의해 기술되는 자유도f의 계에 관한 적분

는 작용적분이라 하며, 해석역학의 정식화에서 중추적인 개념이다.

왜냐하면 해밀턴의 원리를 비롯한 운동법칙을 결정하는 변분원리(變分原理)는 모두 이적분형과 연관되어 있기 때문이다.

또한 변분원리의 결과로서 정해진, 상공간의 궤도를 따라 적분한 적분값은 적분 양끝의 상공간내 좌표 성분 q,(i=1,…)와 시각 t만으로 정해지는 함수이며, 해밀턴-야코비의 편미분(偏微分)방정식에 따른다.

이 편미분방정식의 일반해를 구하는 것은 계의 궤도를 정하는 것과 같다.

앞에서 말한 고전 양자조건과 관련해 흥미있는 것으로서, 양자역학에서는 작용량이 어떻게 정의되고 어떤 역할을 하는가 하는 문제가 있다.

슈뢰딩거 방정식을 따르는 파동함수(3차원 직교계의 경우)를 ￠(r, t), 그 복소공액(複素共-)을 ￠*(r, t)라 할 때(r는 위치 벡터), p(r, t)= ￠ *(r, t) · ￠(r, t)는 입자의 존재 확률밀도를 나타내는데, ￠의 파(波)로서의 위상인자가 작용량에 대응하는 것에서

로 S=(r, t)를 정의하면, h→0의 극한에서 고전입자의 작용적분과 일치한다는 점이 분명해진다.