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응용수학(applied mathematics)

작성일 2010-08-20

자연과학 · 사회과학의 각 분야에서 이용되는 수학. 응용수학의 구체적인 내용은 수학의 발전과 함께 변화되어 가는 것이 보통이지만, 그것은 수학과 다른 분야의 쌍방에 관련된 것으로 양자의 발전은 동시에 촉구되어야 한다.

이를테면 고전역학의 요청으로 미분 방정식의 이론이 발전되었고 그 결과를 응용함으로써 해결된 역학문제도 많다.

더욱이 역학의 문제는 변분법(變分法)을 창시하게 하여 역학과 갚은 관련을 유지하면서 함수해석학의 한 측면을 지탱하고 있는 등 역학과 수학의 새로운 접점을 가지게 되었다.

이러한 예와 같이 일반적으로 순수수학과 응용수학은 뚜렷한 구별 없이 응용문제는 수학에 구체적인 근거를 주면서 서로의 이익을 얻어 때로는 일체가 되고, 또 때로는 각기 고유한 방향으로 발전했다.

응용수학이 기여한 실례를 보면 다음과 같다.

① 양자역학 · 상대론 : 고전역학에서 양자역학으로 옮겨가면서 E. 슈뢰딩거나 W. K. 하이젠베르크의 설정은 수학에서의 힐베트트 공간론, 작용소(作用素)의 이론, 군(群)의 표현 등 여러 가지 개념의 중요성을 인식하게 되어 각종 연구과제를 제공했다.

한편 중간자론의 발전과 더불어 여러 가지 형의 장(場)을 알게 되면서 소립자의 일반이론이 만들어졌고 특수상대성 이론과 양자론의 요구를 만족시키는 이론체계가 확립됨에 따라 수학의 문제로서 진보된 변분(變分)의 문제 또는 로렌츠군(群)의 기약표현(旣約表現)의 문제, S행렬의 이론 등 내용이 풍부해졌다.

또 양자역학의 제3의 설정이라고 일컬어지면서 등장한 R. P. 파인만의 경로적분(經路積分)에 의한 그린함수의 구성방법은 함수공간의 적분으로서 여러 가지 문제를 야기시켰다.

또 시간의 변수를 순허수(純虛數)로 취해 장(場)을 생각하는 유클리드장의 이론이나 기하학적 방법을 구사하는 최첨단 수학에까지 침투하고 있다.

② 통계학 : 통계학은 수학적 기초를 주로 확률론에 두고 있기 때문에 확률론과 일체가 되어 발달했다.

응용면에서 요청되는 여러 가지 확률분포(確率分布)의 해명은 분포의 매개변수의 추정법을 제공하고 검정법도 연구대상으로 했다.

또 확률과정론(過程論)의 비약적인 발달로 시계열해석(時系列解析), 통계역학과의 연관 등 자연과학의 각 분야에 걸쳐, 그리고 사회과학이나 심리학 등에 이르기까지 깊은 교류를 유지하고 있다.

③ 공학 : 전기공학은 오래 전부터 푸리에 해석이나 미분방정식론 등을 통해 수학과 깊은 교류를 해왔다.

그러나 공업화에서의 자동화와 기술혁신은 자동제어의 이론을 구하고 특히 최적제어의 이론은 변분법이나 미분방정식론에 새로운 분야를 확립하게 했다.

특히 L. S. 폰트랴긴의 최대원리는 이 방면의 발전의 원동력이 되었다.

또 정보전달 문제의 기초를 주는 개념으로 정보량의 도입 및 전달방법의 최적화에 대한 수학적 이론은 C. E. 샤논에 의해 계통적으로 논하게 되어 정보이론이 비약적으로 발전한 동시에 확률과정의 이론이나 수학기초론에 본질적인 문제를 제기하게 되었다.

또한 유사한 방향으로서 N. 위너 등에 의해 시작된 정상시계열(定常時系列)의 필터링이나 최적예측의 문제는 정상과정론의 기본적인 연구과제를 주었으며, 더욱 다양하고 구체적인 응용을 하게 되었다.

특히 소음을 수반하는 공학적 기구의 해석에는 필수적인 방법이며 비선형문제에는 해결되지 않은 중요한 문제를 제시하고 있어서 해결은 단지 공학상의 응용뿐 아니라 생리학 등에도 큰 영향을 줄 것으로 기대된다.

그 밖에 공학과 수학과의 관련에 대해서는 계산기수학의 기초이론, 수치해석, 유한요소법(有限要素法) 등 수학 자체라고 볼 수 있는 내용을 가진 것도 많이 들 수 있다.

④ 수리생물학(數理生物學) : 생물학 자체가 학문 분야가 넓고 수학과의 연관성도 다양하다.

예를 들면 멘델법칙을 비롯한 생물통계, 특히 통계유전학은 전통적으로 확률론과 연관이 깊다.

최근에는 집단유전학에서 미분방정식 혹은 확률미분방정식을 이용한 이론적 뒷받침이 되고 있어 큰 성공을 거두었다.

또한 원시적인 미생물의 행동에 대해서도 수학을 응용한 이론체계를 수립하려 하고 있으며 확률과정론이나 무한차원(無限次元) 해석에 새로운 시점(視點)을 주려 하고 있다.

시대적으로는 조금 앞서지만 위너는 사이버네틱스의 이론을 창시하여 제어이론 · 정보이론 등 종합적인 체계 하에 생리학적인 현상의 설명도 시도하여 과학자의 주의를 환기시키는 데 성공했다.

⑤ 경제학 : 경제통계 · 선형계획법 등, 경제학과 수학의 관련도 역사적으로 오래 된 일이다.

그러나 가장 특기할 만한 것은 J. 폰 노이만과 O. 모르겐슈테른에 의한 저서《게임의 이론과 경제행동》의 출현으로 큰 교량역할을 하게 되었다는 점이다.

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