자연수 n에서 자신(n)보다 작은 양(陽)의 약수의 합이 n과 같을 때 이 n을 가리키는 말. 완수(完數)라고도 한다.

이를테면 28은 약수가 28, 14, 7, 4, 2, 1이므로 28을 제외한 약수의 합(14+7+4+2+1)은 28이다.

따라서 28은 완전수이다.

고대 그리스의 피타고라스 학파가 완전수라고 명명했으며 유클리드의 《기하학 원본》에도 나와 있다.

《기하학 원본》에는 p=2-1이 소수(素數)이면 n=2-1(2-1)은 완전수임이 증명되었다.

역으로 짝수인 완전수가 모두 이런 꼴로 나타난다는 것은 오일러가 증명했다.

p=2-1인 꼴의 소수는 메르센의 수(Mersenne’s number)라고 한다.

이를테면 k가 2, 3, 5, 7, 13, 17일 때 p는 소수이며 대응하는 완전수는 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056 이다.

또 k가 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521일 때도 완전수이다.

최근에는 컴퓨터에 의해 큰 완전수가 발견되고 있다.

이를테면, 2(2-1)은 완전수이다.

홀수인 완전수는 지금까지 하나도 발견되지 않았다.

다만, 4+3인 꼴의 완전수는 존재하지 않는다는 것이 알려져 있다.

또한, 완전수가 무한히 존재하는지의 여부도 밝혀지지 않고 있다.