① topological space  수학에서 위상이 정의되어 있는 공간. 평면 위의 점집합과 같이 두 점 사이의 거리가 정의되어 있는 거리공간 E에서는 거리의 개념을 써서 「가까움」이나 「접근함」의 개념이 정의되어 위상이 정의된다.

즉, E의 점렬(點列) 이 E의 점 에 수렴한다는 것은 n이 커짐에 따라 과 의 거리가 점차 가까워지는 것이라고 정의하고 E에서 E로의 사상(寫像) f가 E의 점 에서 연속이라는 것은 E의 점렬 이 에 수렴하면 은 f()에 수렴하는 조건이 성립하는 것이라고 정의할 수 있다.

그렇지만 「가까움」이라는 개념은 거리의 개념에 앞서는 것으로 「가깝다」고 하는 것의 기본적 성질을 나타냄으로써 위상이 거리에 의한 방법보다 더욱 일반적인 방법으로 주어진다.

이것을 알아보기 위해 먼저 평면 위의 점 집합 E를 생각해 본다.

U를 E의 부분집합이라 하고 는 U의 한 점이라 한다.

지금 U가 의 근방(近傍)이 라는 것은 충분히 작은 양수 을 취할 때 에서의 거리가 보다도 작은 점은 모두 U에 포함됨을 뜻한다고 정의하면 다음의 세 가지 성질이 성립한다.

① 의 근방 U는 를 포함한다.

② U, U가 U의 근방이면 U, U에 모두 포함되는 의 근방 U을 취할 수 있다.

③ U가 의 근방이면 U의 각 점 b에 대해 U에 포함되는 b의 근방 V를 취할 수 있다.

여기서 추상하여 하나의 집합 S에 위상을 준다는 것은 S의 각 점 에 대해 S의 부분집합족(族)을 정하고, 이들 부분집합을 의 근방이라 할 때 위의 세 가지 성질이 성립하는 으로 정의한다.

이와 같이 정의된 위상공간 S에서 S의 점렬 이 S의 점 에 수렴한다는 것은 의 어떤 근방 U를 취하더라도 어느 것에서부터 앞에 있는 모든 은 U에 포함된다고 정의되고, 또 S에서 S로의 사상 f가 S의 점 에서 연속이라는 것은 f()의 어떤 근방 V에 대

해서도 의 근방 U에서 f(U)는 V에 포함되는 것을 취할 수 있다고 정의된다.

위상공간 S, S'에 대해 S에서 S'에 대한 1대 1의 사상f에서 f 및 그 역사상 f이 다같이 연속인 것이 존재하면 S와 S’는 같은 위상이라고 한다.

하나의 집합에 대해 일반적으로 여러 가지로 서로 다른 위상을 줄 수 있다.

S를 위상공간, A를 그 부분집합이라 하고, 를 S의 점이라 할 때 의 임의의 근방이 이외에 A의 점을 포함한다면 를 A의 집적점(集積點)이라 하고 의 근방이 A에 포함되면 를 A의 내점(內點)이라고 한다.

A가 그 집적점을 모두 포함하면 A를 폐집합(閉集合)이라고 하고, A의 점이 모구 그 내점이라면 A를 개집합(開集合)이라 한다.

② phase space 물리학에서 역학계의 상태의 시간적 변화를 기하학적으로 표현하기 위한 공간. 예를 들어 N개의 질점의 집합이 있을 때 각 질점의 운동이 서로 자유이거나 상호작용이 있더라도 그들의 위치를 정하는 데 필요충분한 수의 일반화 좌표 q,q와 그들에 대응하는 일반화 운동량 를 택한다.

이들을 직교축으로 한 2f차원(次元)의 공간을 위상공간이라 한다.

어 떤 시각에서의 계(系)의 상태는 이 위상공간 안의 한 점으로 대표되며 시간적 변화는 곡선으로 나타난다.

따라서 이 공간 안의 한 점을 지정하면 질점계의 운동상태를 완전히 정할 수 있다.

통계역학에서 다루는 계는 2f의 값이 대단히 크므로 구체적으로 다수의 역학적 방정식을 풀어서 q, P를 구하고 계의 상태를 대표하는 점을 구한다는 것은 무리이다.

그 대신 위상공간내의 어떤 미소(微小) 부분에 얼마만큼의 확률로 계의 상태가 존재하느냐 하는 분포함수의 형식으로 문제를 다룬다.

이것을 풀면 그 계의 물리량의 평균값의 시간적 변화 등을 구할 수 있다.