차수가 5차인 정방정식(整方程式). x를 변수로 하여 정리한 결과가 다음과 같은 형태인 방정식을 말한다.

일반적으로 4차 이하의 방정식은 계수에 대한 사칙계산이나 거듭제곱근 등의 대수적인 해법으로 풀 수 있으나 5차 이상의 일반 방정식은 대수적인 방법으로는 풀 수 없다는 것이 1842년 노르웨이의 수학자 N. H. 아벨에 의해 처음으로 증명되었다.

다만 5차 이상의 방정식이 인수분해 등에 의해 4차 이하로 유도될 수 있는 경우에 한해 대수적인 풀이가 가능하며 또 대수적이 아닌 공식, 이를테면 삼각함수를 사용한 3차방정식의 공식처럼 타원함수를 사용하면 가능한 공식이 만들어진다.

그 후 1931년 프랑스의 수학자 E. 갈루아가 근(根) 사이의 치환군과 수체(數體) 사이의 밀접한 관계에 주목하고 대수방정식이 대수적인 해를 가지기 위한 필요충분조건을 구하여 대수방정식의 대수적인 해의 존재에 관한 연구에 결정적인 해답을 주었다.

갈루아의 연구는 대수학의 가장 뛰어난 이론의 하나로서 오늘날 「갈루아의 이론」이라고 불리며 아벨의 연구와 함께 현대수학에 많은 지침을 주었다.