수학에서 어떤 명제가 모든 자연수에 대해 성립한다는 것을 해명하는 증명법. 완전귀납법이라고도 한다.

논리학에서는 구체적인 각 사실에서 일반적인 법칙을 유도하는 것을 귀납이라고 하지만 수학적 귀납법은 그것과는 다소 다른 다음과 같은 수학의 증명법을 의미한다.

예를 들어 1에서 n까지의 n개 자연수의 합 Sn은 n(n+1)/2인데, 이것을 다음과 같은 방법으로 증명한다.

① n=1일 때는 =1, 1(1+1)/2=1이므로 에 대해서는 성립한다.

② n=k일 때 성립한다고 하면=+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(k+1)(k+2)/2이므로 k+1일 때도 성립한다.

이렇게 하는 이유는 n=k일 때의 +(k+1)/2을 라 하면, ①은 P1이 성립한다는 것을 말하며 ②는 가 성립한다면 도 성립한다는 것을 말하고 있다.

①에서 이 성립하므로 ②에 의해 도 성립한다.

따라서 ②에 의해 도 성립한다고 할 수 있으므로 모든 자연수 n에 대해서 이 성립하게 된다.

일반적으로 명제의 열 , , …, , …이 있고, 자연수에 번호가 붙어 있을 때 다음의 ①, ②, ③중 어느 것이 성립하면 모든 Pi의 증명이 되며 이러한 증명법을 수학적 귀납법이라고 한다.

① ㉠ 이 성립한다. ㉡ 가 성립하면 도 성립한다는 2단계의 증명.

② …, 는 전부 성립한다. ㉡ k>r일때 , …, 이 성립하면 가 성립한다는 것을 증명.

③ k가 자연수일 때 i<k이면 는 모두 성립한다고 가정하고 가 성립한다는 것을 증명.

①은 위에서 나온 보기와 같은 경우이다. ②로도 가능하다는 것은 같은 방법이기 때문이다.③은 1단계 준 것으로 보이지만 이를테면 을 증명할 경우 성립한다고 가정되는 것이 없기 때문에, 대부분 단독의 증명이 필요하게 되므로 실제의 증명에 있어서는 ①의 형식이 대부분이고, 가끔 ②의 형식을 택하는 경우가 있다.

또 드물기는 하지만 때문에 특별히 다른 방법을 쓰지 않고 ③의 1단계 만으로 끝내는 경우가 있다. 또한 더욱 일반적인 경우도 있다.

즉 극소조건을 만족시키는 순서집합 M에서 번호가 정해진 명제 의 모임이 있고 위의 ③과 마찬가지로 각 에 대해 「nM, n<m이면 은 성립한다」는 가정하에서 의 증명이 된다면 모든 이 성립하는 것이 된다.