고전역학의 뉴튼 운동방정식에 대응하는 파동역학의 기본 방정식. 1926년 E. 슈뢰딩거가 수소 원자내 전자(電子)의 파동을 기술하기 위해 확립한 방정식이다.

파동역학에서 계의 운동상태를 나타내는 상태 벡터는 파동함수라는 형태로 표현되는데 슈뢰딩거 방정식으로 기술된다.

전자의 에너지는 위치좌표 r(x, y, z)와 운동량 p()를 사용하여 식으로 표시하면 이 된다.

여기서 m은 전자의 질량, e는 단위전하, r은 양성자와 전자 사이의 거리이다.

슈뢰딩거의 파동방정식은 를 연산자

로 표기된다.

이 식이 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식이다.

이 때 전자 파동의 시간변화도 이 H를 써서 i(∂φ/∂t)=Hφ가 되면 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식이라고 한다.

즉 파동함수 ￠(ql, …,qf, t)는 계의 자유도를 f라 한다면 일반화 좌표 와 시간 t의 함수이며 f차원 배위공간의 파가 된다.

해밀토니안 H는 고전역학과 대응할 경우 고전 역학의 해밀토니안 H(q, p)이고 운동량 를 -i(∂/∂)로 치환하여 얻는 연산자이다.

예를 들면 포텐셜이 V(r)인 역장(力場) 속을 운동하는 질량 m의 입자는 라플라시안 △을 써서 H=-(/2m)△+V(r)로 기술된다.

이 예와 같이 H가 시간 t를 직접적으로 포함하지 않을 때는 ψ(q, t)=로 하면 는 H의 고유값 방정식

를 만족시킨다.

이것이 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식이다.

φ(q)는 역학계의 성질에 따른 경계조건을 만족시켜야 하므로 상수 E는 특정한 값 , , …만이 허용된다.

이를 에너지 고유값이라고 한다.

고유값의 배열을 에너지 벡터, 또는 에너지 준위라고 한다.

고유값은 띄엄띄엄한 경우도 있고 연속적인 경우도 있다.

로 표시되는 상태는 ||2이 시간에 의존하지 않는다는 뜻으로 정상 상태이다.

슈뢰딩거 방정식은 23년 L. V. 드브로이가 제창한 물질파 개념을 슈뢰딩거가 기하광학적 유추를 통해 포텐셜이 있는 경우까지 확장해서 양자상태를 설명한 것이다.

25년 W. 하이젠베트크가 확립한 행렬 역학과 형식은 다트나 양자상태를 기술하고 설명한 결과는 같다.