이차의 정사각행렬(正四角行列)

를 하나 취하고, 평면 벡터 에 대해

로 정한다.

f_A(a)도 또한 평면 벡터가 되므로 f_A는 평면 벡터 전체의 집합에서 그 자체로의 사상이다.

그러므로 임의외 벡터 a, b와 임의의 스칼라 α, β에 대해

가 된다.

일반적으로 체(體) K 위의 선형공간 V, W사이의 사상 f : V→W는 V의 임의의 원소 a, b와 K의 임의의 원소 α, β에 대해서 f(αa+βb)=αf(a)+βf(b)라는 성질을 가질 때 선형사상이라고 한다.

선형사상 f : V→W에 대해 Ker(f)={a∈V|f(a)=0}, Im(f)={f(a)|a∈V}는 각기 V, W의 선형부분공간이 된다.

Ker(f)를 f의 핵(核), Im(f)를 f의 상(像)이라 하며 Im(f)의 차원을 f의 계수(階數)라 한다.

V, W가 다같이 유한차원(有限次元)이고, e₁, …, e_n 및 e₁', …, e_m'를 각기 V 및 W의 기(基)라 하면 V의

원소 a는 로 표시하 ㄹ수 있다. 또

라고 표기할 수 있으므로,

이 된다.

따라서 선형사상 f는 (m, n)행렬 (α_ij)에 대응한다.

f의 계수는 행렬 (α_ij)의 계수에 불과하다.

두 개의 선형사상 f : U→V, g : V→W의 합성 gf : U→W도 선형사상이다.

f, g가 각기 행렬 A, B에 대응하면 gf는 행렬의 곱 BA에 대응한다.