공집합(空集合) Ø를 포함하지 않는 집합족(集合族 ; 집합의 집합)에 대해 이에 속하는 각 집합에서 각기 원소 한개씩을 동시에 선출하여 그들 전체가 또 집합이 될 수 있다는 집합론의 명제. 선출공리(選出公理)라고도 한다.

집합족 에 속하는 집합이 모두 공집합이 아닐 때 모든 F∈에 대해 f(F)∈를 만족시키는 사상(寫像) 가 존재한다는 공리이다.

이와 같은 사상 f를 선택함수라 한다.

G. 칸토어는「어떤 집합도 그 원소 사이에 적당한 순서를 정의하면 정렬집합(整列集合)이 된다」고 예상하고 있었으나 1904년 E. 체르멜로가 선택공리를 처음으로 제창했고, 이것을 이용하여 정렬가능정리(整列可能定理)를 증명했다.

선택공리는 대수학이나 해석학에서 무의식중에 사용되는 예가 많다.

선택공리와 정렬가능 정리 및 조른의 보제(補題) 등 세 가지는 서로 동등한 명제임이 증명된다.

조른의 보제란 다음과 같은 명제를 말한다.

X를 임의의 순서집합으로 한다.

X의 어떤 전(全)순서 부분집합도 상계(上界)를 가지면 X에는 적어도 한 개의 극대원소가 존재한다.

조른의 보제는 응용상 편리하며 수학의 많은 분야에서 선택공리나 정렬가능정리보다도 자주 사용된다.

선택공리를 이용하여 얻는 중요한 결과는 예를 들어 ① 임의의 두 집합의 농도는 비교 가능하다.

② 콤팩트 공간의 직적위상 공간(直積位相空間) 또한 콤팩트이다.

③ 르베그 비가측(非可測)의 집합이 존재한다는 것 등이다.

또한 선택공리는 집합론의 공리계에서 독립이라는 것이 증명되어 있다.