통계역학에서 열평형에 있는 체계의 성질을 기술하는 함수. 상태합이라고도 한다.

특히 정준분포(正準分布)를 의미할 때가 많다.

이 때의 분배함수 Z는

로 정의된다.

여기서 k는 볼츠만상수, T는 절대온도, E는 주목하는 체계의 j번째 에너지 고유값이고, 는 모든 가능한 고유상태에 관한 합을 뜻한다.

고전 통계역학에서는 H를 해밀토니안으로 하여 exp(-H/kT)를 위상공간 중에서 적분한 것으로서 Z가 정의된다.

Z를 알면

     F= -kTlnZ

의 관계에 의해 체계의 헬름홀츠의 자유에너지 F를 구할 수 있다.

이러한 점에서 분배함수는 통계역학과 열역학을 연결하는 중요한 함수이다.

대(大)정준분포에서는 입자수 N도 변하는데, 이 때는

에 의해 대(大)분배함수 Z가 도입된다(Z 대신에 의 기호를 사용하는 경우도 있다).

여기에서 E(N)은 입자수 N의 체계에서 j번째 에너지 고유값, μ는 1입자당의 화학포텐셜이다.

체계의 압력 · 부피를 각기 p, V라고 하면

     pV = kTlnZ

의 관계가 성립된다.