주어진 함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 적분가능이면 [a, b] 안의 임의의 x에 대해 f(x)는 [a, b]에서 적분가능하다.

이제 

로 놓으면 이 F(x)는 df(x)/d(x)=f(x)라는 성질을 가진 것이다.

이것을 주어진 함수의 부정적분이라고 한다.

부정적분은 다음의 성질이 가장 기본적이다.

F(x)는 f(x)의 연속인 점에서 미분가능이며

가 된다.

만일 f(x)가 [a, b]에서 미분가능이고, 이 구간에서 원시함수(原始函數)를 가진다면 f(x)의 원시함수를 G(x)라 하고

가 된다.

특히 f(x)가 구간 [a, b]에서 연속이면 부정적분 F(x) =f(t)dt는 f(x)의 원시함수의 하나로서 F’(x)=f(x)가 된다.

반대로 함수 F(x)가 [a, b]에서 미분가능이고 F’(x)가 연속이면 F’(x)의 원시함수 중 하나는 F(x)이다.

이로부터 연속함수에 관한 한 미분과 적분은 서로 역의 연산임을 알 수 있다.

그러나 연속함수 이외의 함수는 비록 그것이 적분가능이라 해도 f(t)dt가 반드시 미분가능은 아니며 또 F’(x)가 미분가능이라고 해도 F(x)가 적분가능이라고는 할 수 없으므로 위의 것은 성립하지 않는다.