① 수열의 발산(發散)과 벡터장(場)의 발산 두 가지가 있다.

㉠ 수열의 발산은 무한수열 {}이 수렴(收斂)하지 않을 때 이 수열은 발산한다고 한다.

특히 실수열 {}에서 n을 한 없이 크게 할 때 이 한없이 커지면 {}은 양의 무한대로 발산한다고 하고

라고 쓰며, n을 한없이 크게 할 때 이 음수가 되고 그 절대값이 한없이 커지면 {}은 음의 무한대로 발산한다고 하고

라고 쓴다.

수렴과 발산의 경우에는 극한(極限)이 있다고 한다.

극한이 아닌 수열은 진동한다고 한다.

예를 들면 수열 {n}, {-n}은 발산하고, 수열 {}, {}은 진동한다.

무한급수가 수렴 또는 발산한다는 것은 그 부분합의 수열이 각기 수렴 또는 발산한다는 뜻이다.

㉡ 벡터장의 발산은 공간에 하나의 벡터장 가 주어진다고 하고 (x, y, z)를 공간의 점의 직교좌표로 하여 이 좌표계에 관한 의 성분을 (u, , w)라고 할 때

라 쓰고 이것을 벡터장 v의 발산 또는 다이버전스라고 한다.

div =0은 물리적으로는 방출도 흡입도 없는 것을 나타낸다.

또 가 유체(流體)의 속도분포를 나타낼 때 div =0은 그 유체가 비압축성을 가진 것을 의미한다.

② 해양이나 대기의 대규모 현상을 다룰 때 발산이란 수평발산(水平發散), 즉

을 의미하는 경우가 많다(단, 이 양이 음의 값일 때는 발산 대신 수렴이라고 하는 것이 보통이다).

여기에서 x, y는 수평방향의 직교좌표, (u, )는 (x, y) 방향의 해수(海水) 또는 공기의 유속(流速)이다.

따라서 해양이나 대기 중에 방출이나 흡입이 없을 때, 즉

에서도 ∂w/∂z가 0이 아니면 발산은 생긴다.

∂w/∂z는 수직방향의 유속경사이므로 수평발산은 상승류(上昇流)나 하강류(下降流)와 밀접한 관계가 있다.

예를 들면 해면(海面)의 어떤 장소에서 발산이 있다면 그곳에서는 밑으로부터 해수가 상승하는 것을 나타낸다(이것을 용승〈湧昇〉이라고 한다).

역으로 어떤 장소에 해수가 모여 수렴한다면 그속에서는 해수의 침강(沈降)이 일어난다.

해면 위에 쓰레기 등의 작은 부유물(浮遊物)이 모여 있는 장소는 해수가 수렴하는 위치와 일치하는 경우가 많다.

대기에서도 역시 지표의 상승유역(上昇流域)에서는 수렴이 생기고 하강유역에서는 발산이 생긴다.

대기나 해양에서도 그 발산(수렴)의 양은 극히 적지만 물리적으로는 매우 중요한 역할을 하고 있다.

예를 들면 대기 중의 상승류와 하강류는 열량(熱量)이나 수증기의 운반을 수반하여 대기요란(大氣擾亂)의 원인이 되어 날씨에 명향을 주고 또 하수의 용승은 깊은 바다에서 저온으로 영양염(營養鹽)이 풍부한 해수를 공급하므로 어장(漁場)을 형성하는 요인이 된다.

③ 광선속(光線束)이 한 점에서 나온 것처럼 퍼지면서 나아가는 현상. 평행광선은 오목렌즈나 볼록거울을 통과한 후 발산하며 이처럼 평행광선을 발산광선으로 바꾸는 능력을 가진 렌즈(오목렌즈)를 발산렌즈라고 한다.

④ 유체(流體)나 전류가 한 점에서 외부로 유출하는 현상. 그 세기는 속도 벡터의 발산으로 표시된다.

⑤ 대기나 해수(海水)가 한 평면상에서 한 점으로부터 바깥쪽으로 퍼져가는 형태로 운동하는 현상. 상하운동은 별도로 취급한다.

등압면(等壓面) 위에서 공기가 움직이는 경우, 기류가 모이는 현상이 수렴, 흩어지는 현상이 발산이다.

또한 지상일기도(地上日氣圖)에서의 발산역(發散域)인 고기압에서는 하강기류가 존재하기 때문에 날씨가 좋다.