평면은 닫혀 있지 않지만 한점을 더하거나 또는 평면의 각 방향에 한 점씩을 더하여 닫힌 면을 만들 수 있다.

이 때 더한 새로운 점을 무한원점이라고 한다.

이것을 두 가지 경우로 나누어 자세히 살펴보면 다음과 같다.

① 평면 α가 주어졌을 때, 그 위에 중심 O를 가진 구면 S를 만들고 α에 수직인 지름의 한쪽 끝을 N이라 하여 α 위의 각 점 Q에 대한 직선 NQ와S의 교점 P를 대응시킨다[그림 1]. 이 대응으로 α 위의 점과 N을 제외한 S 위의 점은 1대 1로 대응한다.

N에 대응하는 α 위의 점은 없지만 P가 N에 가까워질때 Q는 O로부터 점점 멀어져 간다.

그래서 α 위의 무한히 먼 새로운 한 점을 만들고 이 점이 N에 대응 한다고 하면 이 점까지 포함한 α 는 S와 동일시되며 닫힌 면이 된다.

이 때 이 새로운 한 점을 ∞라 표시하고 무한원점이라 한다.

② 평면 α에 접하는 구면 S를 만들고 접점을 T, 구의 중심을 O, α 에 평행한 S의 대원을 C라 한다.

이제 α 위의 각점 Q에 대해 직선 OQ와 S의 교점을 P, P*라 하면 이들은 대심점으로서 Q를 {P, P*}로 옮기는 대응으로 α 위의 점과 C를 포함하지 않는 S 위의 대심점의 짝과 1대 1 대응을 한다.

C에 포함되는 대심점의 짝에 따로 α 위의 점은 없지만 {P, P*}가 T를 지나는 대원을 따라 C 위의 대심점의 짝에 접근하면 Q는 이 대원의 면과 α 가 만나는 직선 위를 따라 T로부터 점점 멀어져 간다[그림 2].

그래서 T를 지나는 각 직선 l에 대해 그 위의 무한히 먼 새로운 한 점 를 만들고, 이 점이 l과 평행한 S의 지름 양끝 C 위의 대심점 짝에 대응 한다면 모든 를 포함하는 α 는 S 위의 대심점의 짝 전체의 접합, 즉 S 위의 각 대심점을 대응시켜 이루어지는 곡면(射影平面)과 동일시되며, 닫힌 면이 된다.

를 l방향의 무한원점이라 하며, 모든 방향의 무한원점은 새로운 하나의 직선을 만든다고 생각하여 이것을 무한원직선이라고 한다.

평면 위의 평행한 두 직선은 그 방향의 무한원점에서 만난다고 생각하면 평면 위의 서로 다른 두 직선은 항상 한 점에서 만나게 되어 점이나 직선의 결합적 성질을 통일적으로 연구하는 데 편리하다.