항(項)의 수가 무한히 많은 급수. 즉, 무한수열의 항을 한없이 더한 것을 말한다.

단순히 급수라고 할 때에는 무한급수를 의미한다.

등은 그 예이다.

유한개의 항을 가진 수열

을 무한급수의 부분합이라고 한다.

무한급수의 부분합은 모든 자연수 n에 대하여 만들 수 있다.

무한급수에서는 수렴·발산의 판정과 수렴할 때 급수의 총합을 구하는 것이 중요한 문제이다.

만일 주어진 무한급수에 대 해 부분합의 수열 이 수렴하면 무한수열도 수렴한다고 한다. 즉,

이면 은 수렴한다고 하고, s를 그 합이라 하며

라고 나타낸다.

이에 대해 이 +나 - 또는 부정(不定)일 때 이 무한급수는 발산한다고 한다.

무한급수에서 합·수렴·발산은 다음과 같은 성질을 가지고 있다.

① 유한개의 항을 더하든가 빼도 수렴 또는 발산의 성질에는 변함이 없다.

② 이 수렴하고 그 합이 s일때 도 수렴하고 그 합은s이다.

③ , 이 수렴하고 합이 각각 A, B일때 도 수렴하고 그 합은 AB이다.

④  이 수렴하면 이다.

이 역(逆)은 반드시 성립하지는 않는다. 예를 들어

은 수렴하지 않는다. 또한 많은 중요한 상수(常數)들을 무한급수를 사용하여 표시한다.

예를 들면 원주율 π와 자연로그의 밑 e에 대해서는

이다.

마찬가지로 함수를 항으로 하는 급수는 함수를 표시하는 유용한 방법의 하나이다.

멱급수·푸리에급수 등에 의한 함수의 표시가 그 예이다.

특수한 무한급수에는 기하급수·2항급수·지수급수·3각급수·테일러급수·매클로린급수가 있다.