S를 복소수라 하고 s=일 때

로 정의되는 함수 (s) 제타함수라고도 한다.

이 함수를 이용해 J. S. 아다마르와 C. 드 라 발레 푸생이 소수정리를 증명했다

급수 은 s가 실수이고 s 일 때는 발산한다.

따라서 s가 실수일 때는 s>1에 대하여 이다

그는 (s)에 관해서 s=it( , t는 실수)라 하여 (s)( >)일 것을 예상했다.

이것을 「리만의 예상」이라 한다.