점이 평면이나 공간 속을 연속적으로 움직일 때 생기는 선. 곡선은 크게 평면곡선과 공간곡선으로 분류된다.

평면곡선은 평면위에 있는 모든 곡선으로 직선·포물선·원·타원·쌍곡선 등이 있으며 공간곡선은 평면곡선 이외의 모든 곡선으로 헬릭스 등이 있다.

조르당의 정의에 따르면 평면 위의 연속곡선은 f, g가 [0, 1]에서 정의된 연속함수이고 좌표(x, y)를 x=f(t), y=g(t) 로 표시할 수 있는 점의 집합을 말한다.

이 점의 집합에서 양끝의 점 (f(0), g(0))과 (f(1), g(1)을 제외하는 것을 열린 호, 포함하는 것을 닫힌 호라 한다.

〔매개변수〕 변수 t가 직선 위의 폐구간 내의 점과 대응하는 모든 수값을 취하고 3개의 함수 u(t), v(t), w(t)가 주어지면 좌표(x, y, z)=u(t), v(t), w(t)를 가진 점 P는 직선 위의 점 t와 대응시킬 수 있다.

이 때 방정식 x=u(t), y=v(t), z=w(t)를 이 곡선의 매개변수 방정식이라 한다.

여기서 t는 매개변수이다.

직선이 방향을 가진 것 같이 매개변수방정식을 가진 곡선도 방향이 있다.

곡선 위의 두 점 중에서 한쪽이 매개변수보다 작은 값과 대응하면 다른 점보다 앞에 있는 점이다.

다른 점은 두 점 중의 뒤의 점이다.

만일 곡선이 앞의 점에서 뒤의 점으로 연속적으로 그려진다면 이 곡선은 양의 방향으로 그려졌다고 한다.

〔종류〕다음의 곡선들은 역사적으로 잘 알려진 것이다.

① 삼차곡선 중에서 =f(x)/(x-a)형의 방정식은 x축에 대해 대칭이고 x=a를 점근선으로 가진다.

특히 α>0이고 f(x)=- 이면 [그림 1]과 같은 곡선이 된다.

이 곡선에서 원점 O를 출발하는 반직선이 곡선과 만나는 점을 X, x축의 구간 [0, a]를 지름으로 하는 원과 만나는 점을 Y, 직선 x=a와 만나는 점을 A라 하면 OX=YA가 된다.

이 곡선을 디오클레스의 질주선(疾走線, cissoid)이라고 한다.

또 a=0, f(x)= (c-x)(c>0)이면 곡선은 [그림 2]와 같다.

이 곡선에서 좌표 (a, 0) (c, 0)의 점을 각기 A, C라 하고 A를 지나 y축에 평행인 직선(제1사분면)과 곡선 및 OC를 지름으로 하는 원과의 교점을 각기 X, Y라 하면 AX : AY=OC : 0A이다.

이와 같은 곡선을 아그네시의 위치(witch)라고 한다.

② 두 정점 A, B로부터 거리의 곱이 일정한 점 X의 궤적을 카시니의 난형선(卵形線)이라고 하며 [그림 3]과 같다.

A, B의 중점 O을 원점으로 하고 A, B를 잇는 직선을 x축으로 하는 이 곡선의 방정식은 ( + ) (단, AB=2a, =AX·BX)이다.

특히 이면 곡선은 [그림 3]의 파선과 같이 되며 이 곡선을 연주형(連珠形 ; lemniscate)이라고 한다.

③ 정(定)곡선 C에 접하면서 그 위를 다른 곡선 C’가 굴러갈 때 C’에 대해 고정된 점 X의 궤적 Γ를 윤전곡선이라 한다.

특히 C가 직선, C’가 원, X가 Cl 위에 있을 때 Γ를 사이클로이드(cycloid)라고 하며 [그림 4]와 같다.

④ 밀도가 일정한 실의 양끝을 고정시켰을 때 만드는 모양의 곡선을 현수선이라 하며 방정 식은 y=a cosh(x/a)= 가 된다.

모양은 [그림 5]와 같다.

⑤ 한 점 Q가 x축 위를 등속도로 움직이고 다른 점 P가 Q를 향하여 일정한 속도로 움직일 때 P의 궤적을 추적곡선[그림 6]이라 한다.

Q의 속도가 P의 속도의 α배일 때 방정식은 a≠1이면 , α=1이면 가 된다.