[요약] 2^k-1의 형태로 표시되는 소수이다. 2^k-1의 형태로 나타내어지는 소수로 2^k-1=M_k라 쓴다. M_k가 소수이기 위해서는 k가 소수여야 하지만, k가 소수라고 하여 M_k가 반드시 소수인 것은 아니다. 예를 들어 M11=2047=23x89는 소수가 아니다. M. 메르센이 M_k에 관해 일부 잘못된 몇 가지 예상을 제시했고, 오랫동안 그 진위를 알 수 없었으므로 이 명칭이 붙었다. 19세기 말 E. A. 루카스는 ‘M_k가 소수이기 위한 필요충분조건은 u₁=4, u₂=u₁²-2, u₃ =u₂²-2, … u_i+1=u_i²-2, …라 할 때 u_k-1이 M_k의 배수가 된다’는 것을 증명했다. 이것을 루카스 판정법이라 하며, 메르센 수를 발견한 강력한 방법이다. k=2, 3, 4, 5, 7이 소수인 것은 그리스 시대부터 알려졌으며 k=13, 17, 19는 16세기 말에 P. A. 카탈디에 의해, 또 k=31은 1772년에 L. 오일러에 의해, k=127은 1876년에 루카스에 의해 각각 확인되었다. 이후 k=61, 89, 107도 메르센의 수라는 것이 알려졌으며, 컴퓨터의 발달에 의해 현재는 k를 50,000의 범위에서 다음 27개의 소수가 있다는 것이 검증되었다. k=2 3, 4, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213 19937, 21701, 23209, 44497.