[요약] 논증기하란 기하학에서 다루는 여러 성질들을 식으로 표현하려는 학문이다. 논증기하란 기하학에서 다루는 여러 성질들을 식으로 표현하려는 학문이다. 예를 들어 원을 표현한다고 해보자. 누군가는 원의 모양을 종이나 흙 위에 그려서 보여줄 것이다. 그러나 이는 필연적으로 부정확함을 포함하고 있으며, 무엇보다 이로써는 원에 대해 알 수 있는 정보가 얼마 없다. 대신, 원의 중심과 반지름 r의 정보를 준다면 누구라도 정확하게 그 원을 재현할 수 있을 것이며, 이로부터 원에 대한 여러 성질도 알 수 있을 것이다. 또 한 가지 대표적인 논증기하로는 오일러의 지표가 있다. 오일러의 지표란 다면체의 꼭짓점, 모서리, 면 사이의 관계를 나타낸 식으로, 다음과 같다. 꼭짓점 개수 - 변의 개수 + 면의 개수 = 2 예를 들어 정사면체에서는 꼭짓점이 4개, 변이 6개, 면이 4개이므로 4-6+4 = 2로 성립하고, 정육면체에서는 꼭짓점이 8개, 변이 12개, 면이 6개이므로 8-12+6=2로 역시 성립한다.