[요약] 상미분방정식이나 타원형 또는 포물형 편미분방정식에 대한 경계값문제를 풀 때 이용되는 특수한 함수이다. 영국의 수학자 G.그린의 이름을 따서 명명하였다. 상미분방정식, 타원형 또는 포물형 편미분방정식의 경계값문제를 풀 때 이용되는 특수한 함수. 적분방정식으로의 변환 등에 쓰이고, 또 장의 양자이론에서 쌍곡형 등으로 확장된 것은 시간적 과정의 인과 관계의 기술이나 계산 및 섭동이론 등에 이용된다. x의 영역을 D, 그 경계를 S, D＝D－S라 하고 함수 u(x), f(x), 자동수반연산자 L에 관한 D의 상미분방정식을 Lu＝f, S에서의 동차 선형 경계 조건 Mu＝0에 대하여 영역 D의 y를 매개변수로 하는 함수 G(x, y)가 y에 관한 디락의 δ함수를 δ_v라 하고 D에서 LG＝δv, S에서 MG＝0을 만족시킬 때 G를 이 경계값문제의 그린함수라고 한다. 경계값 문제의 해는 u(x)＝∫_DG(x, y)f(y)dy와 같다. 타원형 편미분방정식에서는 x, y 대신에 D 안의 점 P, Q를 취하고 G(P, Q)의 조건은 D에서 LG=δο, S에서 MG=0, 또 해 u는 Q 공간의 부피요소를 dVο라 하면 u(P)＝G(P, Q)f(Q)dVο이다. 경계값문제가 형식적으로 자동수반이면 G(P, Q)=G(Q, P)이고 G도 자동수반이다. 포물형의 경우도 다소 수정한 형으로 정의할 수 있다. ① 장의 양자이론에서는 4차원공간(시공세계)의 편미분방정식에 관하여 확장된 것이 쓰이지만 4차원좌표 x의 시간성분을 t, 불변 Δ함수를 Δ(x)라 하고, θ(y)를 y > 0에서 1, y < 0에서 0이 되는 계단함수로 하여 G_r(x, x’)＝Δ(x-x’)θ(t-t’), G_k(x, x’)＝-Δ(x-x’)θ(t-t’)를 정의하며 여기에서 Gr를 지연그린함수, Gk를 선진그린함수라고 한다. Δ의 양·음의 진동부분 Δ⁺, Δ^-는 각기 입자의 흡수 및 방출에 대응하고 인과율을 나타내는 인과그린함수는 Gk(x, x’)＝θ(t-t’)Δ0(x-x’)－θ(t’-t)Δ(x-x’)가 된다. 이것에서 전파함수가 정의된다. ② 물성론으로의 응용은 N. N. 보골류보프, S. V. 티아블리코프에 의해 이루어졌다(1959). 이 때는 큰 정준집합의 분포에 관한 물리량 A, B의 곱의 평균값을 취하고 하이젠베르크 표시를 써서 지연·선진·인과그린함수를 각기 G^r_AB(t,t’)＝-(i/)<A(t)B(t’)－ηB(t’)A(t)>θ(t-t’), G^k(t,t’)＝-(i/)<A(t)B(t’)－ηB(t’)A(t)>θ(t’-t), G^k_AB(t,t’)＝-(i/)<A(t)b(t’)>θ(t-t’)－(i/)라고 한다.