[요약] 수학의 한 분야로 수 대신의 문자를 쓰거나, 수학법칙을 간명하게 나타내는 것이다. 방정식의 문제를 푸는 데서 시작되었다. 수학의 한 부문으로, 영어 algebra의 어원은 중세 아라비아의 수학자 알콰리즈미의 저서 《쟈부르와 무가바라의 산법의 적요의 글 (al-Kitab al-mukhtasarfi hisab al-jabr wa-al-mu-qabalah)》의 「얄자부르」에서 유래하며, 방정식(方程式)의 이항을 의미한다. 우리말의 대수학은 중국어로 번역한 것을 답습한 것이며, 수 대신 문자를 써서 문제해결을 쉽게 하고, 또 수학적 법칙을 일반적이고 간명하게 나타내는 것을 뜻한다. 넓은 의미에서 대수학은 ① 대수방정식(代數方程式)의 해법 및 연립방정식의 해법과 관련되는 사항을 중심으로 하는 고전대수학 ② 추상적인 체론(體論) · 군론(群論) · 환론(環論) 등을 중심으로 하는 추상대수학 ③ 정수론과 대수기하학 등에서 연구방법이 추상대수학의 방법과 깊은 관련을 갖는 분야를 포함한다. 대수학의 발전사는 다음과 같다. 〔이집트 · 바빌로니아 시대〕 이집트 시대의 파피루스에는 「어떤 수의 2/3와 그 1/2과 3/7을 더하면 33이 된다. 그 수는 얼마인가」라는 문제가 씌어 있다. 이것은 일차방정식 문제이다. 또한 바빌로니아의 설형문자 점토판을 해독해 보면 2차방정식이나 때로는 3차방정식이 있다. 고대 중국의 수학책 《구장산술(九章算術)》 등에도 저차방정식에 귀착되는 문제가 나온다. 그러나 이것은 모두 숫자방정식(계수가 수인 대수방정식)이며 그 해법의 일반론이 당시에 알려져 있었다는 증거는 없다. 〔그리스 시대〕 유클리드의 《기하학원본》에는 2차방정식의 해법이론이 되는 부분이 있다. 그러나 《기하학원본》에서는 기하학적으로 기술했을 뿐 대수적인 기호는 전혀 쓰이지 않았다. 그리스 말기의 디오판토스는 아마도 바빌로니아의 영향을 받아 원시적인 대수 기호를 사용했다. 〔인도와 아라비아〕 인도에서는 B.C. 2세기경부터 자리잡기 기수법이 쓰였고, 빈자리를 표시하는 기호로 0이 사용되었다. 대수적인 사고방식이 진보하여 바스카라(Bhaskara)는 2차방정식이 음의 근을 가진다는 것을 알고 있었다. 아라비아는 그리스와 인도 두 문명의 영향을 받아 그것을 다음 시대의 유럽에 전했다. 우마르 하이양(‘Umar al-Hay-yam)은 3차방정식을 분류해 그 해법을 연구했다. 십자군에 의해 유럽과 오리엔트 사이에 교통이 열리고, 그 후 피보나치 등에 의해 아라비아의 대수가 서양에 전래됨으로써 서양 대수학의 발달을 보게 되었다. 〔16세기의 이탈리아〕 중세 말의 이탈리아는 동서교통의 요지였기 때문에 문화가 번성했다. 그 무렵의 이탈리아 수학자들은 3차 · 4차방정식의 일반해법을 알기 위해 경쟁했는데, G. 카르다노에 의해 그 해법이 알려졌다. 다음 시대 프랑스의 F. 비에트는 처음으로 문자방정식(계수가 a, b, c 등의 문자로 표시되는 방정식 등)을 도입하여 비로소 근세 대수학의 싹이 텄다. 그것이 한층 정리된 것은 다음 시대의 R. 데카르트 등에 의해서였다. 〔17~18세기의 대수학〕 17세기는 근대해석학이 창시된 시기이다. 그것은 F. 비에트, R. 데카르트에 의해 대수학이 정비되었기 때문에 가능했다. G. W. 라이프니츠는 특히 기호의 중요성을 강조했고 그 뒤를 이은 18세기의 L. 오일러는 대수적 계산의 권위자였다. 이 시대에는 형식적 계산이 발달하여 그리스적인 논리의 근거가 다소 경시되었다. 〔19세기 이후의 대수학〕 3차 · 4차방정식의 해법이 밝혀진데 이어 5차방정식의 해법을 발견하는 것이 18세기 후반부터의 과제였다. 19세기 초에 N. H. 아벨은 드디어 사칙연산(四則演算)과 멱근(冪根)을 구하는 것을 유한회(有限回) 사용하는 해법, 이른바 대수적 해법은 일반적인 5차 이상의 방정식에 대해서는 존재하지 않는다는 것을 증명했다. 이어서 군의 방식을 도입하여 대수방정식의 해법이론을 일반적으로 해명한 것은 E. 갈루아였다. 갈루아 이론은 당시의 산술화적 내지 공리주의적 구성의 분위기와 어울려 오늘날의 추상대수학으로 발전했다. E. 슈타이니츠의 체론은 그 초기에 이루어진 기념비라고 할 수 있다. 오늘날은 대수학의 대상이 원소 사이에 결합이 정의된 추상적인 원소의 집합, 즉 대수계이고, 그 구조를 보는 것이 주안이다. 군 · 환 · 체 · 속 등은 가장 원시적이고 기본적인 대수계이다. 19세기의 대수학은 이러한 대수계의 일반론으로 변모하고, 또한 선형대수학이 전개되었다. 대수학의 방법은 정수론 · 대수기하학 등을 비롯하여 오늘날의 수학의 모든 분야에 유효하고 강력한 방법이 되고 있다.