복소함수론(theory of functions of complex variables)

복소함수의 이론 및 그 응용에 관해 연구하는 수학의 한 분과. 복소변수함수론이라고도 한다.


복소함수는 독립변수(獨立變數)와 종속변수(從屬變數)의 값을 복소수의 범위에서 생각할 때 생긴다.


이것을 다루는 주요 대상은 정칙성(正則性)의 조건에 의해 규정되는 함수 또는 함수의 집합이다.


정칙성은 함수의 미분 가능성과 함수의 멱급수(冪級數) 전개 가능성에 의해 정의되는 두 경우가 있다.


전자는 A. L. 코시가 창시하여 G. F. B. 리만이 기하학적 입장에서 확정했고, 후자는 K. T. 바이어슈트라스가 해석적인 견지에서 도입한 방법이다.


그러나 어느 방법이나 먼저 정칙성이 함수의 국소적인 성질로 취급되며 다음에는 정칙성을 유지하면서 함수의 변역(變域)이 넓혀진다.


그 수단으로 해석접속(解析接續)이 이용되며 여기에서 해석함수의 개념이 나온다.


이 해석함수를 주요 대상으로 삼는다는 점에서 이 이론을「복소변수 해석함수론」이라고 해야 될 것이나, 보통 함수론이라고 약칭한다.


코시에 의해 창시된 일반함수론은 10세기에 타원함수라는 응용분야로 발전했고 리만, 바이어슈트라스에 의해 더욱 체계화되었으며, C. E. 피카르의 정리가 발견되자 더욱 발전했다.


현재는 멱급수 · 유리형(有理型) 함수 · 등각사상(等角寫像) · 포텐셜(potential) 등이 복소함수론의 중요 논제가 되고 있다.