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카타스트로피의 이론

불연속현상을 다루는 수학적 이론. 파국(破局)의 이론이라고도 한다.


물이 끓을 때까지, 온도계를 넣고 수온을 재면서 물의 상태변화를 관찰해 보면, 끓는점에 가까워질 때까지의 물의 상태는 거의 변화하지 않으나, 어느 온도에 달하면 그 때까지의 온도변화에 비해 아주 근소한 변화에 의해 물의 상태가 액체에서 기체로 급변한다.


이와 같이 현상의 상태를 규정하는 조건(예에서는 온도)의 근소한 변화가 상태를 일변시키는 경우를 카타스트로피라고 한다.


카타스트로피의 이론은 20세기초 H.푸앵카레에 의해 창시된 역학계의 토폴로지적 이론을 사용해 이와 같은 현상의 불연속적인 변화를 모델화하는 것이며, 특히 생물학에의 응용에 역점을 두고 있다.


1960년대에 나온 프랑스의 토폴로지스트 R.톰의《구조안정성과 형태형성》이라는 책이 카타스트로피 이론의 탄생을 의미한다.


종래의 미분방정식론을 주요 수단으로 하는 해석적 수법으로는 카타스트로피 현상의 수학적 해명이 어려웠다.


그것은 조건의 미소변화에 상태가 원활하게 의존하는 듯한 현상을 논의의 중심에 두었기 때문이다.


톰은 카타스트로피 현상의 해명에 미분 토폴로지(정량적 성질과 정성적 성질간의 깊은 층에서의 관련을 조사하는 수학)의 수법을 사용해 카타스트로피 현상의 정상적 분류에 성공했다.


〔카타스트로피 현상의 정식화〕코스터(coaster ; 기복이 있는 궤도를 달리는 오락용 열차)의 궤도처럼 상태가 1차원적으로 기술되는 경우를 생각해 본다.


이 코스의 각 점 위에 가만히 공을 놓는다[그림 1].


A, C, G점에 놓인 공은 오른쪽 또는 왼쪽으로 구르기 시작하고, B와 E에 놓인 공은 안정하여 그 위치에 멎는다.


D에 놓인 공은, 고개가 평평하면 그 위치에 머물 가능성도 있으나, 작은 힘의 불균형으로도 B나 E방향으로 굴러 떨어질 것이다.


B, E의 점을 다른 점과 구별하는것은 이 두 점이 공의 중력에 의한 포텐셜(potential) 에너지의 극소값(極小値)을 주는 점이기 때문이다.


이 곡선은 4차 다항식(多項式)으로 표시된다.


3차 이하의 계수를 조금씩 변화시키면 [그림 2]와 같은 곡선족(曲線族)을 구성할 수 있다.


먼저 S에서 안정되어 있는 공의 움직임을 생각해 보자. 곡선은 처음에는 S에서만 극소값을 가지나 서서히 오른쪽에도 극소값이 나타나, 어느 순간이 되면 왼쪽 극소값이 소설되어 상태는 S에서 S로 급변한다.


이 예는 카타스트로피 이론에서의 자연현상의 파악법, 카타스트로피가 일어나는 방법을 단적으로 나타낸 것이다.


자연현상의 시스템 상태는 적당히 모델화되어, 다차원 공간 속에서 좌표에 의해 표시된다.


물론 모든 상태가 등가(等價)인 것은 아니다.


포텐셜이라는, 공간상의 함수의 극소값을 주는 점에서만 실현된다.


그 포텐셜은 외부조건에 의해 매끄럽게 제어되어 있다.


제어 또한 적당한 공간내의 좌표에 의해 표시되며, 그 공간의 차원을 제어의 수라한다.


제어의 미소변화는 포텐셜의 미소변화를 낳는데, 포텐셜의 극소값을 주는 점의 분포는 급격히 변동할 가능성이 있다.


이 때 카타스트로피가 일어난 다고 생각하는 것이다.


따라서 카타스트로피의 정성적 분류를 하는 일은 바로 제어에 의존하는 포텐셜족(族)의 극소값의 분포상태를 분류하는 일이다.


이와 같은 문제의 정식화 아래, 톰에 의한 초등 카타스트로피의 분류정리는 다음과 같이 요약된다.


주목하는 시스템의 상태는 n개(n은 임의의 자연수)의 변수로 표시되며, 제어의 수는 4이하이고, 이들을 변수로 하는 포텐셜 함수가 주어져 있다.


이 시스템에 카타스트로피가 일어났다고 할 경우, 상태와 제어의 변수에 적당한 변수변환을 하면, 그 포텐셜은〈표〉에 제시된 7개 함수의 어느 것인가로 변환된다.


이〈표〉에서, 변환된 포텐셜의 상태변수는 x나 y로 표시된다.


즉, 적당히 선택된 새로운 1개나 2개의 변수만으로 상태가 완전히 표시되는 것이다.


또한 제어는 새로운 포텐셜에서 a, b, c, d로 표시된다.


포텐셜의 식에서 ±가 있는 경우는 그 어느 쪽으로도 된다는 뜻이며(따라서 카타스트로피는 엄밀히 말하면 7개가 아니라 10개가 있다), -쪽을 +쪽 카타스트로피의 쌍대(雙對) 카타스트로피라고 하기도 한다.


〔카타스트로피의 예〕①좌굴(挫屈)에서의 카타스트로피 : 가늘고 긴 막대나 얇은 판을 압축하면, 어떤 하중(荷重)에 이르렀을 때 갑자기 옆 방향으로 휘는데, 그 후 휨이 급격히 증대하는 현상이 일어난다.


이것을 좌굴이라고 하며, 이 좌굴을 카타스트로피 이론으로 설명해 본다.


[그림 3]의 (a)와 같이 2개의 강체(剛體)의 가로대가 수평을 유지할 수 있도록 중앙에 스프링으로 고정되어 있다.


이 가로대의 끝은 좌우로만 움직이고, 상하로는 움직이지 않게 되어있다.


(a)와 같이 수평력 R가 서서히 가해지면, R가 어느 임계값(臨界値)에 이를 때까지는 아무 변환도 없으나, 임계값에 달하면 이 가로대는 윗방향(또는 아랫방향)으로 (b)와 같이 좌굴한다(제1의 좌굴).


R를 더욱 증가시키면 좌굴의 정도도 심해진다.


그 크기는 각 x로 표시된다.


이번에는 수평력을 고정시키고, 양가로대에 수직하중 α를 서서히 가한다).


α가 어느 임계값에 달하면 가로대는(이와 같이 아래 쪽으로 좌굴한다(제2의 좌굴).


이 시스템에서 가로대의 길이를 1로 하면, 시스템에 축적되는 전에너지 V는 가장 일반적인경우인 (c)의 그림에서





이다. 여기서 (1/2)μ가 스프링의 탄성계수이다.


이 포텐셜을 sin x나 cos x의 테일러 전개를 사용해 근사계산하면







이 되므로, 가로대의 좌굴은[그림 4]와 같은 쐐기의 카타스트로피를 써서 설명할 수 있다.


여기서 a와 α, b와 β는 상수의 차를 빼면 비례한다.


수평력 β와 수직하중 α의 변화에 따라 제어평면 위의 점(α, β)가 점선으로 표시된 곡선 위를 ①, ②, ③, ④로 움직여감에 따라 가로대의 상태는 제어평면의 곡선 위에 있는 곡선 S위의 점선으로 나타낸 곡선 위를 변화한다.


즉, ①에서 x는 0이며, ②에서 갑자기 어떤+의 값(제1의 좌굴)이 되고, ③까지 x는 +로 값이 계속 늘어나다가, ④에서 갑자기 x가 +에서 -로, 이중화살표로 표시된 카타스트로피(제2의 좌굴)를 일으켜 급변한다.


이것은 단순한 가로대의 좌굴 설명에 카트스트로피 이론을 사용한 예인데, 일반적인 복잡한 구조물의 좌굴현상도 이와 같이 고찰된다.


양끝을 고정한 탄성체(彈性體) 막대에 수직하중을 가했을 때, 이것이 붕괴할 때의 가중의 임계값은 하중을 가하는 점이 막대의 중심에 있을 때가 최대이며, 중심에서 %만큼 떨어져 있을 때의 임계값은[그림 5]와 같은 쐐기형 그래프로 나타낼 수 있다.





 







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