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역삼각함수(inverse trigonometric function)

삼각함수의 역 함수. 반(反)삼각함수라고도 한다.


사인함수 y=sin x의 치역(値域)은 구간 [-1, 1]이다.


이 구간에 속하는 임의의 y에 대해 sin x=y가 되는 x의 값은 무수히 존재하지만 x의 변역(變域)을 [-π/2, π/2]로 제한하면 이 x는 단 하나만이 남는다.


이때





 


라고 쓰며, 역사인함수라고 한다.


즉 x=Arcsin y는 -π/2xπ/2를 정의역으로 하는 사인함수 y=sin x의 역함수이다.


마찬가지로 0xπ를 정의역으로 하는 코사인함수 y=cos x의 역함수는





 


라고 쓰고, 역코사인함수라고 한다.


또 -π/2<x<π/ 2를 정의역으로 하는 탄젠트 함수 y=tan x의 역함 수를 역탄젠트함수라 하고





 


라 쓰며 0<x<π를 정의역으로 하는 코탄젠트 함수 y=cot x의 역함수는 역코탄젠트함수라 하고





 


라고 쓴다.


sec x, cosec x의 역 함수도 같은 방법으로 정의되지만 이들은 별로 유용하지 않다.


이상 6개 삼각함수의 역함수를 총칭하여 역삼각함수라고 한다.


한편 사인함수 y=sin x의 정의역을 제한하지 않을 때는 그 역함수를 생각하면 다가함수(多價函數)가 된다.


그것을 역사인함수라 하여





 


라 쓰기도 한다.


이 때는 앞서 말한 Arcsin y를 역사인함수의 주치(主値)라 한다.


역코사인함수 arccos y(cos-1y), 역 탄젠트함수 arctan y(tan ly) 등이나 또 그들의 주치도 같은 방법으로 정의된다.


역삼각함수라는 명칭은 이들 다가함수를 가리키기도 한다[그림].


앞에서는 삼각함수의 역함수를 설명했으므로 역삼각함수의 독립변수를 y로 표시했지만 처음부터 역삼각함수를 다룰 때는 물론 독립변수를 x로 표시해도 된다.


즉 역사인함수를 y=arcsin x, 또는 x (주치인 경우는 Arcsin x, x)로 표시 한다.


역코사인함수, 역탄젠트함수에 대해서도 마찬가지이다.


역삼각함수(주치)의 미분법에 대해서는 다음 공식이 성립한다.





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