수학 기호 이야기 ② 더하기 반복을 쉽게 해주는 곱하기 기호 X

|김정(ddanceleo@donga.com)

 

이일은 이, 이이 사, 이삼 육, 이사 팔….

글로만 읽어도 자연스럽게 리듬이 떠오를 것이다. 우리나라 사람이라면 초등학교 입학을 전후해 당연하게 익히는 구구단이다. 누구나 배우는 것이기에 실수를 했다가는 놀림감이 되기도 쉽다. ‘구구단을 외자’라는 술자리 게임도 있는데, 까딱하다가는 구구단도 모른다는 핀잔을 들을 뿐만 아니라 술까지 마시게 된다.

구구단은 1부터 9까지의 수를 서로 곱한 값을 표로 만들어 놓은 것이다. 한때 19단을 외우자는 열풍도 있었지만, 굳이 그럴 필요까지는 없다. 구구단만 알아도 이를 가지고 더욱 큰 수의 곱셈을 충분히 할 수 있다.

수의 곱셈은 간단히 덧셈의 반복이라고 설명할 수 있다. 2×5는 2를 5번 더한다는 뜻이다. 2+2+2+2+2라고 쓰자면 번거로우니 간단하게 2×5처럼 쓰는 것이다. 앞서 다룬 덧셈과 뺄셈 기호에 이어 이번에는 곱셈 기호의 탄생에 대해 알아보자.

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뒤늦게 등장한 x

곱셈에 대한 기록은 고대 이집트와 바빌로니아 시대까지 거슬러 올라간다. 기원전 1700년경의 물건으로 보이는 린드 파피루스에는 이집트인들이 곱셈을 했던 방법이 적혀 있다. 여기에 따르면 고대 이집트인은 계속해서 두 배를 하는 과정과 덧셈을 조합해 곱셈을 했다.

바빌로니아인 60진법을 썼기 때문에 구구단과 달리 두 수를 곱해서 나온 결과를 일일이 기억하기가 어려웠다. 그래서 곱셈표를 이용했다. 고대 중국에서는 산가지를 이용해 곱셈을 했다.

오늘날 우리가 쓰는 × 기호가 출현한 건 꽤 늦은 시기의 일이었다. × 기호를 처음 쓴 것으로 언급되는 인물은 영국의 수학자 윌리엄 오트레드다. 오트레드는 1618년에 어떤 책의 부록에 처음으로 × 기호를 썼다.

하지만 안타깝게도 오트레드가 곱셈 ×를 어떻게 만들었는지에 대해서는 정확히 밝혀지지 않았다. 영국 국기의 십자가를 본떠서 만들었다는 설도 있고, 성 안드레아 십자가가 기원이라는 얘기도 있다. 당시 ×는 +, -에 비해 그 크기가 매우 작게 쓰였다. 그리고 그 모양이 미지수를 나타내는 문자 x와 닮아 헷갈린다는 이유로 많이 쓰이지 않다가 19세기 후반이 돼서야 널리 사용되기 시작했다.

한편, 오트레드는 1622년에 계산자를 발명하기도 했다. 계산자란, 곱셈이나 나눗셈뿐만 아니라 암산으로는 불가능한 복잡한 수의 계산도 가능케 하는 기계 장치다. 계산자는 전자계산기나 컴퓨터가 등장하기 전까지 과학자와 기술자들에게 계산 필수품이었다.

편리한 곱셈 기호 · 의 탄생

수식에 문자를 사용하기 시작하면서 × 기호를 다른 기호로 대체하거나 생략하기도 한다. 그때 쓰는 기호가 ·이다. 예를 들어 6과 4의 곱이나 -5와 -9의 곱은 각각 6 · 4=24, (-5) · (-9)=45와 같이 나타낼 수 있다. xy=0과 같은 수식에서는 x와 y 사이에 아무 기호도 없지만, 이 둘을 곱한다는 뜻이 된다.

· 기호를 처음 사용한 건, 뉴턴과 함께 미적분을 발명한 라이프니츠다. 라이프니츠는 1676년 한 원고에서 곱하기 ×가 미지수 x와 닮아 헷갈린다는 이유로 처음부터 널리 사용되지 못했다고 썼다. 실제로 라이프니츠는 1698년 7월 요한 베르누이에게 다음과 같은 편지를 보냈다.

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독일의 수학자 고트프리트 라이프니츠.

“기호 ×는 문자 x와 혼동되기 때문에 곱하기를 나타내기 위한 기호로 ×를 사용하지 말로 대신 · (점)을 씁시다.”

영국의 수학자이자 천문학자인 토마스 해리엇의 책(1631)과 영국의 수학자 토마스 깁슨의 책(1655)에서 · 이 3·bb와 같이 사용했다는 주장도 있다. 하지만 이들은 ·를 곱하기로 사용했다기보다, 수와 문자를 구별하기 위해 · 를 사용했던 옛 필사본의 관습을 따랐던 것으로 보인다. 오늘날에는 곱하기 기호로 ×와 · 기호를 모두 사용한다.