과학백과사전 Home > 사이언스 피디아 > 과학백과사전

7133

선형대수학(linear algebra)

벡터공간과 선형변환에 관한 이론을 연구하는 학문. 선형대수학에서 다루는 중요 대상은 선형공간(벡터공간) · 벡터 · 선형사상 · 아핀공간 · 선형 변형 · 행렬 · 행렬식 · 연립일차방정식 등이다.


이들이 중요 대상이 되는 것은 그 발생 · 발전과정이 모두 일차식과 관련되었기 때문이다.


실용계산에 일차식을 이용하는 경우는 많다.


그래서 일차방정식 · 연립일차방정식은 실용계산에서 중요했다.


한편 수학적 문제를 생각할 때 그 문제에 적합한 좌표변환 혹은 변수변환 등을 이용하도록 시도되어 왔다.


해석기하의 문제에서 주어진 좌표로는 계산이 복잡하다.


적당히 좌표변환하면 계산이 쉬워진다.


적분 계산에서 치환적분은 일종의 변수변환이다.


이와 같은 변환 중 가장 기본적인 것이 일차변환이라고 할 수 있다.


또 근사라는 면에서 생각해도 중요한 제일차근사를 일차식에서 얻는 것이 보통이다.


이런 이유로 일차식 일차변환은 중요한 역할을 해 왔으며, 수학의 발전과 함께 이들과 관련된 모든 개념이 명확해지고 추상화되어 선형대수학의 대상이 되었다.


벡터공간은 그 구성 원소인 벡터 사이의 관계식이 일차식으로 주어진다는 생각에서 나왔고, 아핀공간 · 선형변환 등은 벡터공간과 밀접한 관계를 가진다.


행렬은 선형변환과 본질적으로 같은 것이다.


행렬식은 연립일차방정식과 관련되어 나타났지만 행렬의 이론에서 중요한 위치를 차지하게 되었다.


더욱이 선형대수학에서 다루는 선형공간은 유한차원(有限次元)이라고 한정하지는 않으나 유한차원일 때가 기본적이다.


또한 2x1y1+3x2y1+4x1y2+x2y2는 x1, x2나, y1, y2에 대해 일차동차식(同次式)이다.


이와 같이 2조(組)의 변수(x1, x2, …, xn)과 (y1, y2, …, yn)어느 것에 대해서도 일차동차식일 때 이들에 대해 쌍일차(雙一次)라고 한다.


쌍일차의 전형적인 예는 텐서곱(積)이다.


쌍일차인 것도 선형대수학의 대상에 포함되는 것이 보통이다.


역사적으로 볼 때 바빌로니아나 중국에서도 고대부터 연립일차방정식의 해법이 알려져 있었으나 17세기에 와서야 겨우 연립일차방정식의 해법과 관련된 행렬식이 탄생했다.


G. W. 라이프니츠가 1693년에 쓴 편지에 행렬식에 관한 내용이 있다고 하지만 명확한 것은 1750년에 G. 크라머가 발견한 것이다.


한편 P. 페르마는 R. 데카르트보다 먼저 곡선을 방정식으로 분류하는 것을 생각하여 곡선과 그 차수(次數)의 관계를 조사했다.


이로써 18세기의 해석기하학이 꽃피게 되었다고 볼 수 있으며 해석기하학에는 선형성이 여러 형태로 관련되어 선형변환과 관련된 행렬식이 명확화 되었다.


또한 이 무렵에는 선형미분방정식의 해(解)의 선형성이 의식되었고, 이와 관련하여 일차독립이라는 개념이 의식되었다.


이처럼 선형대수학은 여러 구체적인 대상에서 출발하여 많은 사람들, 특히 19세기의 A. 케일리와 H. G. 그라스만에 의해 고차원의 경우를 포함하여 명확화 · 추상화되면서 더욱 발전했다.


케일리는 좌표에 기초를 두고 다루었으나 그라스만은 좌표에 구애되지 않는 이론을 구성하여 발전에 크게 기여했다.

통합검색으로 더많은 자료를 찾아보세요.