라그랑주의 함수(Lagrange’s function)

좌표와 그 시간미분의 함수로서 어떤 물리계의 역학적 성질을 나타내고 그 운동을 규정하는 양. 라그랑지안(Lagrangian ; Lagrangem)이라고도 한다.

라그랑주의 운동방정식 noname01에서 일반화좌표 noname02 및 일반화속도 noname02에 관한 함수 L을 라그랑주함수라고 한다.

뉴튼역학에서는 운동에너지를 T, 포텐셜 에너지를 V라고 하면 L=T-V가 된다. 상대론적 역학에서는 T 대신에 T=noname03 (mo는 물체의 정지질량, c는 진공중의 광속, v는 물체의 속도)를 사용하면 된다.

라그랑주의 운동방정식은 변분식(變分式) noname04인 해밀턴의 원리와 같으나, 전자기장(電磁氣場)이나 일반적인 장(場)에 대해서도 그들의 기본방정식은 noname05인 변분식의 형으로 표시할 수 있다. 이를테면 진공중의 전자기장에서는 가우스단위로 noname06로 놓고 (E는 전기장의 세기, H는 자기장의 세기, A는 벡터 포텐셜, noname07는 스칼라 포텐셜), Ax, Ay, Az, noname07를 장의 변수로 하여 변분하면 맥스웰의 식이 나온다. 이 경우에는 noname08가 라그랑주의 함수에 해당하므로 L을 라그랑주함수밀도라 한다.