도함수(derivatives, 導函數)

어떤 함수를 미분하여 얻는 함수로 수직선상의 한 구간(區間)에서 정의된 실변수(實變數)의 함수  y = ƒ(x)에서 x가  h만큼 미소한 변화를 할 때 이 구간에 속하는  x에 대해, noname01가 유한한 극한값을 가지면,  ƒ(x)는 x 에 있어서 미분(微分)가능이라 하고, 이 극한값을  x에 대한  ƒ(x)의 미분계수(微分係數) 또는 미계수, 미분몫이라 한다. 이것을 기호로, noname02등으로 나타낸다.

ƒ(x)가 구간의 각 점에서 미분가능할 때  ƒ′(x) 를 그 각 점에서  x의 함수로 볼 수 있다. 이 때   ƒ′(x) 를  ƒ(x)의 도함수라 한다. 따라서 미분계수는 각 점에서의 도함수에 해당된다. ƒ′(x) 가 미분가능할 때 그 도함수를  ƒ″(x) 로 표시하며, 이것을  ƒ(x)의 2계(二階)도함수라 한다. 이런 방식으로  ƒ(x)가  n회 미분가능할 때, 그 결과를  ƒ(x)의  n계도함수라고 한다. 이것은 noname03 등으로 표시한다.

ƒ(x),  ƒ″(x) 는 각각 n = 1, 2의 경우에 해당되며, n≥ 2일 때의  n계도함수를 통틀어 고계도 함수(高階導函數)라 부른다. 복소변수(複素變數)의 함수에서는 미분가능하기만 하면 모든 계수의 도함수가 존재한다. 함수론에서의 정칙(正則) 함수의 뚜렷한 성질이다.