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델타함수( function)

영국의 이론물리학자 P. A. M. 디랙이 양자역학의 이론체계를 정비하기 위해 도입한 함수. 즉,


 



 




이라는 성질을 가진 것으로 정의되었다.


따라서 이것은 보통 말하는 함수는 아닌데, 디랙은 물리학적인 직관에서 실축상(實軸上)의 연속함수 에 대하여


 


 


 


라는 공식과, 또 델타 함수의 미분을 생각하여,


 



 


등의 공식을 도입했다.


적분인자로서는 적분의 값이 결정되는 것으로 하고, 더구나 여러 가지 물리현상의 계산에 유효하게 사용했다.


이와 같이 형식적으로 다루는 데 수학적으로 엄밀한 증명을 얻으려는 시도는 몇몇이 있었는데, 1905년경 L. 슈바르츠가 초함수의 이론을 만들어 이것을 완전히 해결했다.


무한화연속미분 가능한 함수로 ||가 큰 데서는 항등적(恒等的)으로 0이 되는 함수의 집합을 로 표시하고, 에 대하여 선형범함수(線形氾函數) ()=(0)로 나타내면 는 초함수가 된다.


이것을 디랙의 전통에 따라




  


 


라 쓰고, 초함수의 미분법에 따라 미분하면





 


등 앞에 쓴 미분의 공식을 얻는다.


함수 의 푸리에 변환을 로 나타낸다.


초함수의 푸리에 변환의 정의에 따라 델타함수의 푸리에 변환을 계산하면,





 


가 된다.


이 성질은 응용에 있어서 매우 중요하다.









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