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대수기하학(algebraic geometry)

역사적으로는 해석기하학과 사영(射影)기하학이 발전하여 형성된 수학의 한 분야. 가장 간단한 경우 유한개의 다항식의 공통영점으로 정의되는 도형의 연구가 있다.


예컨대 2변수 n차기약다항식 f(x,y)의 영점 f(x,y)=0으로 정의되는 도형은 n차(아핀) 평면 대수곡선이라 불리는데 n=1이면 직선, n=2면 이차곡선이라 불리며 타원이나 포물선이 그 예이다.


N. H. 아벨, C. G. J. 야코비의 타원함수론의 연구를 거쳐 G. F. B. 리만의 대수함수론의 연구로 대수기하학이라는 새 분야가 등장했다.


리만은 대수곡선 f(x,y)=0을 고찰할 때 복소수의 범위에서 생각했다.


즉, f(a,b)=0인 복소수의 쌍(a,b) 전체를 생각하고 또 여기에 무한원점(無限遠點)을 몇 개 더해 닫힌 곡선으로 고찰했다.


리만이 도입한 중요한 개념에 쌍유리변환(雙有理變換)이 있다.


유리식 R1(x,y), R2(x,y)로 u=Rl(x,y), v=R2(x,y)에 의해 (x,y) 평면에서 (u,v) 평면으로의 변환(유리변환)을 정하면 (x,y) 평면의 대수곡선 f(x,y)=0은 (u,v) 평면의 대수곡선 g(u,v)=0으로 변환된다.


일반적으로 2개의 대수곡선 f(x,y)=0과 g(u,v)=0이 서로 유리변환할 수 있을 때, 「이들 곡선은 쌍유리동치(雙有理同値)이다」라고 한다.


예컨대 직선 y=ax와 이차곡선 u2十v2=1이라는 에 의해 쌍유리동치이다.


그러나 y=ax와 u2=v3+1은 쌍유리동치가 아니다.


쌍유리변환에 의해 평면곡선의 차수가 반드시 불변은 아니며, 해석기하학에서 평면곡선의 차수가 중요했던 것과는 두드러진 차이를 보인다.


리만은 쌍유리변환에서 불변인 양으로 대수곡선의 종수(種數)를 도입했다.


앞의 예에서 y=ax나 u2十v2=1의 종수는 0이며, u2=v3+1의 종수는 1이다.


리만의 고찰은 해석적이었는데 그의 이론을 대수적 · 기하학적으로 재구성하여 대수곡선론이라 부르기에 걸맞게 만든 것은 M. 뇌터였다.


뇌터는 또 한 대수곡면도 고찰했는데, 그의 연구는 F. 엔리케스, G. 카스텔누오보 등 이탈리아학파에 계승되어 20세기 전반에 대수곡면론이 확립되었다.


한편, 이와 같은 대수기하학의 발전에 따라 체(體)의 이론과 가환환론(可換環論)의 발전이 촉진되었다.


이탈리아학파의 대수기하학은 직관에 의존하는 부분이 많았으며 그 엄밀한 기초의 확립은 체론 · 가환환론을 써서 O. 자리스키, A. 베이유에 의해 이루어졌으며, 현대 대수기하학 발전의 기초를 세웠다.

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