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대수곡선(algebraic curve)

x2(x+1)- y2=0이나 x⁴+y⁴-2x(x2-y2)=0과 같이 기약(旣約)인 두 변수다항식 f(x,y)에 대해 f(x,y)=0을 만족 시키는 점(x, y) 전체를 평면대수곡선이라 한다.


f(x,y)=0으로 정의되는 평면대수곡선 c 위의 점(a,b)는 일 때 특이점(特異點)이라 불린다.



일 때는 정칙점(正則點)이라 불린다.


[그림 1, 2, 3]의 평면곡선은 원점이 특이점이며, 그 밖의 점은 정칙점이다.


[그림 1]의 특이점은 통상 2중점이라 불린다.


[그림]에서 알 수 있듯이 보통 2중점에서는 서로 다른 2개의 집선(이 경우는 x-y=0, x+y=0)을 그을 수 있다.


[그림 2]의 특이점은 첨점(尖點)이라 불린다.


첨점에서는 접선을 하나밖에 그을 수 없다.


한편 [그림 3]의 특이점에서는 3개의 접선 x=0, x-y=0, x+y=0을 그을 수 있다.


일반적으로 f(0,0)=0이면 f(x,y)의 차수가 가장 낮은 항을 합친 것을 f0(x,y)라 쓰면([그림 1]의 경우 f0(x,y)=x2-y2, [그림 2]의 경우 f0(x,y)=y2, [그림 3]의 경우 f0(x, y)=-2x(x2-y2)이다), 이 때 f0(x,y)의 차수가 1이면 원점은 정칙점, 차수가 m≥2면 특이점이고 m차(次)의 특이점이라 부른다.


f0(x,y)의 1차인자 ax+by로 결정되는 직선 ax+by=0은 접선이 된다.


f0(x,y)가 서로 다른 m개의 일차식의 곱일 때 통상 특이점이라 불린다.


오늘날의 대수기하학에서는 보통 대수곡선을 복소수(複素數)나 다른 체(體) 위에서 생각 한다.


또 사영공간(射影空間) 속에서 생각하는 수도 많다.


대수곡선을 해석적으로 다루면 폐(閉)리만면(面)의 이론이 된다.


 


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