기하학[geometry, 幾何學]

[요약] 토지 측량을 위해 도형을 연구하는데서 기원했으며, 공간의 수리적(數理的) 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다.

고대 이집트에서 시작된 이래 현재에 이르기까지 그 연구의 대상 및 방법은 다양하다. 고대 이집트인(人)은 홍수로 나일강(江)이 범람한 후에는 토지를 적절하게 재분배하기 위하여 측량이 필요하였다. 이와 같은 토지 측량에 의한 도형의 연구를 기하학의 기원(起源)이라고 보고 있다. 현재 기하학은 영어로 geometry라 하는데, geo-는 토지를, metry는 측량을 뜻한다.

이집트인이 개발한 이와 같은 도형에 관한 지식은 지중해를 건너 그리스로 전파되었는데, 경험적이었던 이집트인과는 대조적으로 추상적인 사고방식에 능했던 그리스인은 도형에 대한 개념을 새로이 형성하고, 연역적(演繹的)으로 이를 논하였으며, 특히 탈레스와 피타고라스의 노력에 의해 비약적으로 발전하였다. 두 삼각형의 합동, 비례정리 등은 탈레스의 발견이었고, 또 피타고라스학파에 의해 피타고라스의 정리가 발견되고 증명되었다. 그 당시의 기하학에 관한 지식은 유클리드의 《기하학원본:Stoicheia》에 집대성됨으로써 유클리드기하학(초등기하학)의 체계가 비로소 완성되었다.

17세기에 접어들어 R.데카르트는 좌표라는 개념을 기하학에 도입하여 해석기하학(解析幾何學)을 확립하였다. 이것은 L.오일러의 노력으로 더욱 진전되었고, 그 후 I.뉴턴과 G.W.라이프니츠에 의해서 미적분학이 발견됨에 따라 기하학은 다시 미분기하학(微分幾何學)으로 발전하였다. 한편, 르네상스의 성당 건축의 필요에서 탄생된 석공술(石工術)과 축성술(築城術)에 자극을 받아 몽즈의 화법기하학(畵法幾何學)이 탄생되었고, 이것은 사영기하학(射影幾何學)으로 발전하였다.

또 유클리드의 평행선공리는 그 이전부터 비판의 대상이 되었는데, 19세기에 접어들어 그것을 부정한 비(非)유클리드기하학이 N.I.로바체프스키, 보야이, G.F.B.리만에 의해 확립되었다. 또한 19세기 말 이래 위상수학(位相數學)의 탄생과 더불어 도형에의 위상도입, 두 도형의 동상(同相)과 위상사상(位相寫像) 등의 개념을 도입한 위상기하를 비롯해 군(群)과 다양체이론(多樣體理論)의 발전과 함께 탄생한 미분위상기하학 등은 수학뿐 아니라 자연과학 전반에 걸쳐 크게 기여하였다.