[과학과 문화의 만남] 음악 속의 수학

다음 그림은 중세시대의 거장 라파엘로가 1509-1510연에 그린 작품으로 <아테네 학당>이다.


 


이 그림에서 왼쪽 아래쪽의 인물에 집중해보자. 이 사람은 누굴까? 유명한 그리스의 수학자 피타고라스이다. 피타고라스는 무엇인가를 기록하고 있는 모습이고 그의 조수는 석판을 들고 있다. 서판 위에 그려진 것은 무엇일까?


  


맨 위의 글자는  음조의 명칭으로 연속하는 음 사이의 간격을 나타낸다. 음 사이의 간격을 나타내기 위하여 6, 8, 9, 12를 나타내는 로마숫자 VI, VIII, VIIII, XII 를 사용하고 있다. 삼각형 모양으로 배열된 삼각수 10을 볼 수 있다. 삼각수 10은 피타고라스학파에겐 중요한 의미를 갖는 수로 성스런 테트락티스(the Sacred tetraktys)로 불린다. 여기서 영어 접두어 tetra4를 뜻하므로 테트락티스는 4가지 사물의 집합체를 뜻한다. 각 변에 4개의 점이 놓여있는 정삼각형을 생각할 수 있다.


 


 


10은 손가락의 수를 나타내기도 하고 10진법의 밑이기도 해서 중요한 의미를 갖는다. , 처음 네 자연수의 합이란 점에서 의미를 갖는다.


 1+2+3+4=10


테트락티스란 단어는 서기 10세기경 그리스의 수학자이자 천문학자인 테온이 붙인 것으로 그는 네 수 1, 2, 3, 4로 구성된 10을 생각하여 다음과 같이 상징성을 부여했다.


































































1


2


3


4


기하





입체


원소



공기




입체도형


정사면체


정팔면체


정이십면체


정육면체


생명체


씨앗


길이의 성장


폭의 성장


두께의 성장


사회


인간


마을


도시


국가


개념


합리성


지식


의견


감각


계절



여름


가을


겨울


인생의 시기


유년기


청년기


성년기


노년기


생명체의 부분


신체


이성


감성


의지


 


[생각의 변화 1] 서판의 테트락티스의 비 1:2:3:4 , 피타고라스학파가 음을 길이의 비로 나타낸 것을 상징하는 그림이다. 예를 들어, 피아노의 건반은 88개인데 길이의 비가 3:2 (주파수의 비는 2:3 )인 현이 내는 소리의 차를 완전5라고 불리는데, 이는 피아노 건반의 네 번째 도음(C4)과 네 번째 솔음(G4) 사이의 간격이고, 이 간격은 네 번째 파음(F4)과 다섯 번 째 높은 도음(C5) 사이의 간격과 같다. 이 때, 솔음(G4)과 높은 도음(C5)을 내는 현의 길이의 비는 4:3 으로 완전4로 불린다.


 


 



C4 D4 E4 F4 G4 A5 B5 C5 D5 E5


 


따라서 다음과 같은 등식을 얻는다.


(완전4)+(완전5)=(한 옥타브)


음의 간격의 개수로 표현하면 3+4=7 인 셈이다.


 


[생각의 변화 2]수학에서 양수 a, b 에 대하여 1/2(a+b)를 두 양수의 산술평균이라 하고, 두 양수의 역수의 평균의 역수를 두 양수 a, b 의 조화평균이라 한다.


1과 1/2 의 조화평균을 구하면 2/3 으로 완전5도 음정을 뜻하고, 1과 1/2 의 산술평균은 3/4 로 완전5도 음정을 나타낸다. 이것은 테트락티스의 비 1:2:3:4 속에 표현되어 있다. 현의 길이의 비로 도, , , , , , , 도를 모두 구할 수 있다.


 


[생각의 변화 3]


소리의 높이는 현의 길이와 어떤 관계가 있을까? 현의 길이가 줄면 소리의 음은 높아지고 현의 길이가 늘어나면 음은 낮아진다. 소리의 높고 낮음은 진동수(frequency)로 나타내는데, 줄의 길이가 반으로 줄면 진동수는 2배가 된다. 줄의 길이와 진동수은 서로 역수관계다. 고대의 사람들도 경험적으로 이런 관계를 알았을 것 같다. 음악과 관련하여 고대 그리스의 피타고라스학파가 유명하다. 그들은, 길이가 1인 줄을 울려서 소리를 내고 처음 길이의 3분의 2인 줄을 울리면 처음의 소리보다 5도 높은 소리가 되고, 처음 길이의 2분의 1인 줄을 울리면 8도 높은 소리가 난다는 것을 발견했다. 오늘날 이것을 기초로 만든 음계가 피타고라스 음계이다. 기타의 한 줄을 고정해 도(C)음을 내는 줄의 길이를 1이라 한 뒤, 줄의 길이가 9분의 8, 5분의 4, 4분의 3, 3분의 2, 5분의 3, 15분의 8일 때 줄이 내는 소리는 각각 레, , , , , 시이다.
































음계









줄의 길이


 1


 9/8


5/4


 4/3


3/2


 5/3


16/8


진동수


1


8/9


 4/5


3/4


 2/3


3/5


 8/16


 이탈리아의 음악이론가인 가프레오(Gaffurio, F. : 1451-1522)1492년에 쓴 책 음악이론(Theora Musica)’에 음계를 연구하고 연주하는 피타고라스를 그려 넣었다.


   



피타고라스는 한 개의 현을 갖는 악기로도 도, , , , , , , 도를 나타낼 수 있다. 이런 악기를 피타고라스의 일현금(一絃琴)이라 부른다. 현악기의 소리를 들을 때면 피타고라스학파의 위대한 발견을 저절로 떠올리게 된다.


변화를 꿈꾸면 기회가 온다. 생각에 변화를 주어 자신 안에 자고 있는 거인을 깨우자.


 


김흥규 광신중학교 교사