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수학 기호 이야기 ⑨ 끝없는 원주율을 나타내는 π

|김정(ddanceleo@donga.com)

 

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출처 : GIB

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무슨 수일까? 보기만 해도 아득해지지만, 앞의 몇 자리만 읽어보자. 3.14…. 여기까지만 보면 아마 무슨 수인지 알 것이다. 바로 원주율이다.

원주율은 원의 둘레를 지름으로 나눈 결과다. 원의 크기가 달라도 둘레와 지름의 비는 항상 똑같다. 원주율은 무한소수다. 끝도 없이 이어지고 있다는 소리다. 소수점 아래 일정 부분이 반복되는 순환소수도 아니어서 숫자로는 정확히 나타낼 수 없다. 요즘에는 컴퓨터로 원주율은 계산하는데, 최고 기록이 소수점 아래 1013자리 정도다.

누구에게나 익숙한 상수인 만큼, 원주율을 나타내는 π라는 기호 또한 익숙하다. 이 기호 π는 대체 어떻게 탄생한 것일까? 원주율과 기호 π의 역사에 대해 알아보자.

원주율의 근삿값을 구한 아르키메데스

원주율처럼 순환하지 않는 무한소수를 ‘무리수’라고 한다. 무한히 계속되며 순환하지 않는 소수인 원주율을 정확히 구하기 위한 수학자들의 노력은 고대부터 오늘날까지 계속되고 있다. 맨 처음 등장한 π의 근삿값은 3이었다. 약 5000년 전 고대 메소포타미아에서 원주율이 3으로 쓰였고, 고대 중국의 수학책인 <구장산술>에도 원주율을 3으로 계산한 기록이 남아 있다.

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고대 그리스의 수학자 아르키메데스는 다각형이 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 비교해 원주율의 근삿값을 계산했다. 그가 구한 원주율은 3.1408…에서 3.1429… 사이였다.
출처 : 위키미디어

한편, 기원전 3세기의 고대 그리스의 수학자 아르키메데스는 다각형이 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 비교해 원주율의 근삿값을 계산했다. 즉, 원의 둘레는 외접하는 다각형의 둘레보다 짧고 내접하는 다각형보다 길다는 사실을 이용한 것이다. 이때 다각형의 변이 많아질수록 외접하는 경우와 내접하는 경우의 둘레의 차가 작아지므로 원의 둘레에 가까워진다. 아르키메데스는 이와 같은 방법으로 정96각형을 이용해 원주율의 근삿값을 3.1408…< π < 3.1429…와 같이 구했다.

아르키메데스가 원주율을 구한 계산법은 사람들에게 널리 알려졌고, 그 결과 오늘날까지 원주율을 ‘아르키메데스 상수’라고 부르기도 한다. 컴퓨터를 사용하지 않고 가장 긴 자리의 원주율을 계산한 사람은 영국의 수학자 윌리엄 샹크스다. 그는 1873년, 15년 동안의 계산을 통해 소수점 이하 707자리까지의 원주율 값을 계산했다. 하지만 이후 그의 계산은 528자리까지만 정확한 것으로 밝혀졌다.

현대에는 컴퓨터를 이용해 원주율을 계산한다. 이런 방법에 큰 수학적 의미는 없지만, 컴퓨터의 성능을 파악하는 데 쓰이고 있다. 2010년에는 일본의 한 회사원이 90일 7시간 동안 컴퓨터로 원주율을 계산해 소수점 이하 5조 자리까지 구했다.

π의 역사

원주율 기호 π는 그리스 문자로, ‘파이’라고 읽는다. 원주율을 나타내는 기호로 π를 처음 사용한 사람은 누구일까? 우선, 영국의 수학자 윌리엄 오트레드는 1647년 원주율을 δπ로 나타냈다. π를 쓰기는 했지만 원주율 대신 원의 둘레란 의미로 사용됐고, δ는 지름을 나타낸 것으로 보인다.

우리가 현재 사용하고 있는 의미로 π를 처음 사용한 사람은 영국의 수학자 윌리엄 존스다. 그는 1706년에 발표한 책을 통해 “특정 도형의 길이나 넓이를 구하는 계산에 매우 유용한 여러 방법이 있다. 원을 예로 들면 지름이 1인 원의 둘레를 약 3.14159…= π로 표기하는 것이다”라며 기호 π의 사용을 제안했다. 윌리엄 존스는 둘레를 뜻하는 고대 그리스어 ‘περιφηρής’ 나, 둘레의 길이를 뜻하는 ‘περίμετρον’의 첫 글자를 따서 π를 사용한 것으로 보인다.

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스위스 수학자인 레온하르트 오일러는 1736년 원주율을 나타내는 기호로 처음 π를 사용했다.
출처 : 위키미디어

하지만 π가 금방 널리 사용된 것은 아니다. 1740년대까지도 원주율의 기호로 π 대신 다른 문자가 사용되기도 했다. π 대신 라틴어 peripheriam(주변)의 첫 글자인 p나, 라틴어 circumferentia(원주)의 첫 글자인 c를 사용하기도 했다. π가 널리 사용되기 시작한 것은 스위스의 수학자 오일러 덕분이다.

그는 당시 유럽에서 매우 영향력 있는 수학자였다. 오일러가 1736년 자신의 책에서 원주율을 나타내는 기호로 π를 사용하면서부터 원주율을 π로 표기하는 방법이 빠르게 퍼져나가기 시작했다.

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가장 아름다운 공식으로 꼽히는 오일러 공식.

π는 수학자들이 뽑은 가장 아름다운 공식인 ‘오일러 공식’에서도 발견된다. 또한 수학뿐만 아니라 물리학에서 나오는 불확정성의 원리나 동역학 등에서도 π는 그 모습을 드러낸다.

만약 π가 없었다면 어땠을까? 매번 무리수인 원주율을 쓰는 건 여간 곤혹스러운 일이 아니었을 것이다. 또한 가장 아름다운 공식도 만나지 못했을지도 모를 일이다.